Joseph Raphson. Un gran admirador de Isaac Newton. De hecho, gracias a sus traducciones del trabajo de Newton, se logró entender con mucha más facilidad lo que Newton quería decir. Fue así que Raphson desarrolló un método muy parecido al “método de fluxiones” de Newton. La versión de Raphson fue más simple, y generalmente se le considera como superior. Ahora lo conocemos como el método Newton Raphson.
- Introducción y antecedentes (para qué sirve y qué resuelve) del método
Hablé ya antes sobre el método de bisección, incluyendo sus ventajas y desventajas. Newton Raphson es un método distinto para el mismo fin: encontrar raíces de una función.
- En qué consiste el método
¿Cómo lo hace? Al igual que bisección, con recursión. Repite el mismo proceso muchas veces hasta llegar, o acercarse lo suficiente, a un resultado. A diferencia de bisección, este es un método abierto, lo que significa que no necesita un rango dentro del cual se encuentre la raíz… Newton Raphson necesita solamente una aproximación inicial.
Después de checar si la aproximación inicial es una raíz (¡el mejor de los casos!) o está muy cerca a serlo, el método evalúa la derivada de la función en la aproximación inicial. La línea tangente en este punto cruza el eje X en algún punto (siempre y cuando su pendiente sea diferente a cero).
Esta nueva aproximación se calcula de la siguiente manera: 
Este punto donde la tangente cruza el eje es tomado como la nueva aproximación, y el método comienza a repetirse y repetirse hasta encontrar o acercarse lo suficiente a una raíz.
- Requisitos previos del método
Se necesita de una aproximación inicial. Además de la función, necesitaremos su derivada.
- Diagrama de flujo
- Criterio de detención del método
Como lo mencioné anteriormente, el mejor de los casos sería que la aproximación inicial sea una raíz. En ese caso, ¡ya tenemos la raíz!
La mayoría de las veces no será así, y lo que el método hace es checar si el error aproximado es lo suficientemente pequeño. Este error aproximado se calcula de la siguiente manera:
- Código fuente
- Pruebas y resultados con casos de éxito, casos de falla y casos frontera
Todo parece excelente. Este método funciona y tiene una velocidad de convergencia mayor a la del método de bisección. Pero este método tampoco es perfecto… como todo, tiene sus ventajas y desventajas.
Basarse en la línea tangente de cada punto puede ser un arma de doble filo… qué tal que la tangente en un punto me vaya alejando cada vez más de la raíz (divergencia), u oscile infinitamente, o la pendiente en el punto tenga de pendiente cero? esa línea nunca cruzaría el eje X, y no tendríamos donde hacer nuestra siguiente aproximación.
Intentemos, por ejemplo, dar como aproximación inicial x=0 para encontrar la raíz en sin(x). La tangente en ese punto es cero y la línea tangente diverge.
O bien, consideremos solo la ineficiencia que el método puede tener: demos como aproximación inicial 1.91 ...aquí, el método hace múltiples iteraciones, y en lugar de encontrar la raíz más cercana (3.141516), se aleja hasta aproximádamente la raíz en x=53.4; un caso típico de “root jumping”.
- Conclusiones
Este método utiliza una técnica muy diferente a la de bisección. Sin embargo, también tiene sus casos de error y limitaciones. Es importante considerar su velocidad de convergencia y que como método abierto, solamente necesita una aproximación inicial.
- Bibliografía:
Carlos Emmanuel Martell Aviña. A01225920.
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