método bisección

Déjenme platicarles sobre un método numérico: el método de Bisección. ¿Para qué? ¿De qué me serviría? Sucede pues, que este método (bajo ciertas limitantes y posibles casos de error) nos indica el cruce que una función tiene con el eje X dentro de un rango dado. ¿Ahora suena interesante? Analicemos un poco más qué es este método y cómo funciona.

• Introducción y antecedentes (para qué sirve y qué resuelve) del método

Este método sirve para encontrar cruces con el eje X (que llamaremos raíces) de una función. Para dar con una respuesta, repetiremos el mismo procedimiento las veces que sean necesarias, recursivamente.

• En qué consiste el método

¿Cómo lo hace? Algo fundamental que sucede (casi siempre) cuando hay una raíz es que la función pasa de tener valores positivos en Y a valores negativos. Entonces, cuando la multiplicación de la función evaluada en un punto por la función evaluada en otro punto resulta en un valor negativo significa que hubo, al menos, una raíz.

Supongamos, entonces, que se nos da un rango en el cual encontrar raíces. Lo primero que hacemos es evaluar la función un uno de los 2 extremos y multiplicar ese valor por la función evaluada en el otro extremo. Si esta multiplicación resulta en un valor negativo, entre ellos hay una raíz... pero no sabemos exactamente en dónde está.
Para encontrar este valor, encontramos un punto medio entre los dos extremos y después identificamos en cuál de las 2 mitades está el cruce. De la mitad en donde identifiquemos el cruce, se manda llamar al mismo método con nuevos parámetros, los extremos de esta mitad identificada.

Así, el método irá identificando mitades y mitades cada vez más pequeñas hasta que un punto medio evaluado en la función esté ya muy cercano al eje X. En ese momento, identificamos a ese punto como un cruce y el método regresa ese valor.

• Requisitos previos del método

Para que este método funcione, se necesita que los extremos pasados como parámetros sean de un rango donde ciertamente haya un cruce (que estén en lados contrarios del eje Y). De lo contrario, el método creerá que en el rango indicado no hay raíces.
También consideremos que aunque ambos extremos dados estén del mismo lado del eje Y y su multiplicación resulte en un valor positivo, puede haber cruces. Una función puede cruzar más de una vez el eje X y volver al mismo lado del eje Y, como se mencionará más adelante.

• Diagrama de flujo

• Criterio de detención del método

Aún en las condiciones adecuadas, el método tiene un rango de error: los rangos dentro de los cuales se determina que ya es raíz y detener la recursión… este número podría ser infinitamente pequeño y nunca podrá ser totalmente preciso. Es así, que mi rango de error es de 0.0000000000000001

• Código fuente

https://preview.c9users.io/carlosmartell97/metodo-diseccion/

• Pruebas y resultados con casos de éxito, casos de falla y casos frontera

Consideremos, por ejemplo, la función x^2. Esta función tiene, claramente, una raíz en x=0. Sin embargo, aun si buscamos por raíces dentro del rango [-2,2] nuestro método vería que ambos extremos tienen valores positivos en Y y determinaría que no hay raíz.

Si consideramos, ahora, la función (x^2)-1 y evaluemos dentro del mismo rango, nuestro mètodo tampoco encontrará raíces. Aun cuando realmente hay 2 raíces en este rango. Para que el método encuentre una raíz tendríamos que cambiar el rango a algo como [-2,0] o [0,2]. Por lo tanto, las probabilidades de error en nuestro método aumentan con funciones de potencias par.

• Conclusiones

Este método puede llevar a respuestas correctas, pero requiere de ciertas características en su forma de uso. Y aun siendo usado de la manera correcta, existe un margen de error que no podemos ignorar. Sin duda, para usar este método necesitamos conocer algunos aspectos básicos de cómo luce nuestra función gráficamente y mandar como parámetros a la función valores aproximados.

Espero que esto te haya servido de algo! Estaré publicando sobre varios otros métodos numéricos.

Carlos Emmanuel Martell Aviña. A01225920.