métodos de Gauss y Gauss-Jordan

• • • Introducción y antecedentes (para qué sirve y qué resuelven) los métodos
    Los metodos de eliminacion de Gauss y Gauss-Jordan, son métodos que se utilizan para resolver sistemas de ecuaciones de cualquier número.
    
    
    • Requisitos de los métodos
    Para aplicar alguno de estos métodos, se necesita, primero que nada, un sistema de ecuaciones y de ella generar una matriz de coeficientes y una matriz de constantes. Posteriormente, se crea una matriz aumentada, esto mediante la unión de la matriz (o vector) de constantes a la de coeficientes. Para asegurar el funcionamiento, el sistema de ecuaciones debe tener solución, por lo que no deben ser paralelas o que los coeficientes de una ecuación sean múltiplos de los otros coeficientes de las demás ecuaciones.
    
    
    También es importante considerar que para ambos métodos, las ecuaciones del sistema de ecuaciones inicial necesitan estar acomodadas de manera que los coeficientes más grandes estén en la diagonal.
    
    
    Esto significa que si comenzaramos con el siguiente sistema de ecuaciones:
    
    Lo primero que tendríamos que hacer es reacomodarlo de la siguiente manera:
    
    • Diferencias entre uno y otro método
    La diferencia entre los métodos de Gauss y Gauss-Jordan es que en Gauss necesitas hacer backwards substitution y en Gauss-Jordan no. Esto, ya que el método de Gauss-Jordan va un poco más allá que Gauss y no solo se concentra en hacer los coeficientes debajo de la diagonal cero, sino también los coeficientes arriba de la diagonal.
    
    
    En el método de Gauss hace eliminación hacia adelante N-1 veces, siendo N la cantidad de ecuaciones.
    
    
    • ¿Es un método iterativo? (¿si?, ¿no?, ¿por qué?)
    A pesar de que haces iteraciones para la eliminación hacia adelante y sustitución hacia atrás en el caso de la eliminación de Gauss; no es un método iterativo. Esto porque las iteraciones que hace están definidas por el tamaño de la matriz y se realizan como parte de un proceso numérico. Por otra parte, un método iterativo se detiene a partir de la evaluación de un tipo de error cada vez que se repite un proceso que empieza con un valor semilla... esta característica no está presente en ninguno de estos dos métodos.
    
    
    • Pivoteo, y escalamiento. (¿Por qué son útiles?)
    
    
    El pivoteo es el proceso de reacomodo de la matriz para que el coeficiente más grande sea el pivote antes de usar uno de estos métodos. Se le llama pivoteo parcial si sólo se intercambian renglones, y pivoteo completo si se cambian tanto renglones como columnas. Esto con el motivo de disminuir la probabilidad de un error de redondeo cuando el elemento pivote es cercano a 0 y provoca una división indefinida. El pitoe completo es raramente usado porque agrega más complejidad a la computadora al momento de intercambiar filas y columnas.
    
    
    El escalamiento se puede definir como un proceso para simplificar los coeficientes de un sistema de ecuacion; por ejemplo, dado un sistema de ecuaciones, realizar un escalamiento implica, para cada renglón o ecuación, dividir por alguna constante tal que el coeficiente más pequeño de cada renglón sea uno. Esto, con el propósito de disminuir errores de redondeo que se presentan usualmente cuando los coeficientes de alguna ecuación es relativamente más grande que el de otra. Un ejemplo es el siguiente:
    
    
    2x1 + 100,000x2 = 100,000
    x1 + x2 = 2
    Usando escalamiento el sistema queda de la siguiente forma
    0.00002x1 + x2 = 1
    x1 + x2 = 2
    
    
    • Diagrama de flujo Gauss Elimination
    
    
    
    La mitad de este diagrama de flujo es exactamente igual a la primera mitad del diagrama de GaussJordan, para la segunda mitad es el primero proceso pero en sentido contrario, donde se busca crear una matriz identidad.
    • Código fuente para métode Gauss en Scilab
    
    

    //Declara la matriz cuadrada de coeficientes como A
    //Declara el vector columna de constantes como b
    
    //Generar matriz aumentada y desplegar
    AUM = [A b]
    X = AUM
    [rX cX] = size(X)
    //Eliminación hacia adelante
    for p = 1 : 1 : rX-1   //Fila del pivote
     pivote = X(p,p);
     for i = p + 1 : 1 : rX   //Fila a procesar
         prim_fila = X(i,p)
         X(i,:) = X(i,:) - (X(p, :)/pivote)*prim_fila
     end
    end
    
    x(rX) = X(rX, cX)/X(rX, cX - 1)
    for i = rX : -1 : 1
     s = 0
     for j = i + 1 : rX
         s = s + X(i, j) * x(j)
     end
     x(i) =( X(i,cX) - s ) / X(i,i)
    end
    
    
    disp (X)
    disp(x)
    

    
    
    • Código fuente para métode Gauss-Jordan en Scilab
    
    
    

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

    // para resolver esta ecuación simultánea en SCILAB: // 2x -y +1 = 7 // x +2y -z = 6 // x + y + z = 12 a=[2,-1,1;1,2,-1;1,1,1] // matriz de coeficientes, dimensiones 3x3: // 2 -1 1 // 1 2 -1 // 1 1 1 b=[7;6;12] // matriz de constantes, dimensiones 3x1: // 7 // 6 // 12 aumAB=[a b] // matriz aumentada, que es así: // 2 -1 1 7 // 1 2 -1 6 // 1 1 1 12 // y para hacer el proceso de Gauss-Jordan elimination... rref(aumAB) // y nos da: // 1 0 0 3 // 0 1 0 4 // 0 0 1 5 // entonces, la respuesta para nuestra ecuación simúltanea es // x=3, y=4, z=5

    
    
    • Casos de falla y lo que tu programa hace en estos casos
    En una matriz cuadrada, el método de Gauss fallará si la determinante de la matriz es cero. Otra manera en que se puede ver que esto ocurre es cuando alguna de las ecuaciones del sistema de ecuaciones es múltiplo escalar de otra.
    
    
    • Pruebas y resultados con sistemas de más de 3 incógnitas
    Podemos incluso probar estos métodos con ecuaciones de más de 3 incógnitas. Con 4 incógnitas:
    2w+2x-5y+z=-16
    -w+x+6y-z=15
    2w-x+y+6z=3
    w+x+2y-z=7
    
    
    Ambos métodos dan como respuesta:
    
    
    w=2, x=-2, y=3, z=-1
    
    
    Lo cual es correcto.
    
    
    Y con 6 incógnitas podemos observar lo siguiente:
    a +  b - 2c +  d + 3e -  f  =    4
       2a -  b +  c + 2d +  e - 3f  =   20
        a + 3b - 3c -  d + 2e +  f  =  -15
       5a + 2b -  c -  d + 2e +  f  =  - 3
      -3a -  b + 2c + 3d +  e + 3f  =   16
       4a + 3b +  c - 6d - 3e - 2f  =  -27
    
    
    Ambos métodos dan como respuesta:
    
    
    a=1, b=-2, c=3, d=4, e=2, f=-1
    
    
    Lo cual es correcto.
    
    
    • Conclusiones
    
    
    Estos dos métodos de eliminación, a diferencia del método de Cramer, son menos complejos para la computadora cuando el tamaño de la matriz crece; esto es porque no realizan operaciones grandes, como lo hace el cálculo de una determinante, y solamente recorren cada elemento de la matriz para irla modificando Funcionan mejor para matrices cuadradas mayores a 4, por lo dicho anteriormente, y su implementación es muy fácil en scilab (véase código de GaussJordan).
    Dado que no son iterativos, la respuesta no tiende a un porcentaje de error, simplemente encuentra la solución si es que existe. Sin embargo, al ser implementados en la computadora, siguen existiendo los errores de redondeo. A pesar de esto, antes de aplicar alguno de estos métodos, existe el procedimiento de pivoteo y escalamiento para disminuir la probabilidad de sufrir dicho error.